二項分布(Binomial distribution) - 勉強したことメモ

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今ここにSレアであるあっかりーんが当たるガチャがあるとします。ネットの情報からあっかりーんが当たる確率は75%(!?)だとの情報を運良くゲットしたとしましょう。あなたはこのSレアあっかりーんがとても欲しくて、1回あたり200円のそのガチャに5000円をつっこもうと考えています。
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ガチャを回し、当たり・はずれのような結果が2パターンになるものをベルヌーイ試行と言います。
※各回の試行は独立です

当たる確率を $p$ , はずれる確率を $(1-p)$ であるガチャを $n$ 回引くとすると、各あっかりーん数 $x$ の得られる確率は

${\begin{align} f(x)&= {}_n C _xp^x(1-p)^{n-x} \\ \end{align}}$

で与えられます。この分布を二項分布(Binomial distribution)と呼びます。ベルヌーイ試行をn回行なったときにある事象(当たりなど)が何回起こるかの確率分布です。この一般化された式を見ての通り、二項分布は試行回数nと当たる確率pにより決まることが分かります。つまり、二項分布のパラメータは $n$ と $p$ なので $Bi(n,p)$ と書いたりします。

それでは最初に書いたあっかりーんガチャを例に、二項分布をみてみましょう。あっかりーんが当たる確率は75%、引く回数は5000円/200円で25回です。
つまり、 $Bi(25, 0.75)$ なので、このときの確率分布は、

$f(x) = {}_{25} C _x0.75^x(1-0.75)^{25-x}$

となります。以下のようにpythonのscipyパッケージを用いると簡単に求めることができます。

from scipy.stats import binom

p = 0.75             # あっかりーんが当たる確率
n = 5000/200         # 200円のガチャに5000円をつっこむので25回まわせる
x = range(int(n)+1)  # 0~25回まで当たるときに着目

binomial = binom.pmf(x,n,p)

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

plt.plot(x, binomial, 'o')
plt.xlabel('number of success', fontsize=15)
plt.ylabel('probability', fontsize=15)

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分布がでました。
では、25回まわした時に得られるあっかりーん数 $x$ のうち、最も確率が高いのはなんでしょうか？

binomial.argmax()

考察

このガチャを25回まわすと19個ものあっかりーんが得られる可能性が最も高いことがわかりました。よかったですね。
ちなみに二項分布は期待値 $\mu=np$ , 分散 $\sigma^{2} = np(1-p)$ となります。

n*p

18.75

n*p*(1-p)

4.6875

※平均分散の導き方
・平均

$\begin{align} \mu&= \sum_{x=0}^n x\cdot f(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x\cdot \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x\cdot \frac{n!}{x(x-1)!(n-x)!} p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n \frac{n(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!} p\cdot p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\ &= np\sum_{x=0}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!} p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\ &= np \\ \end{align}$

※ $x! = x(x-1)!$
5行目の和の部分は $Bi(n-1, p)$ の確率分布の和であるので1になります。

・分散

$\begin{align} \sigma^{2}&= \sum_{x=0}^n (x-\mu)^{2}\cdot f(x)\\ &= \sum_{x=0}^n (x^{2}-2\mu x +\mu^{2})\cdot f(x)\\ &= \sum_{x=0}^n x^{2}\cdot f(x)-2\mu\sum_{x=0}^n x \cdot f(x) + \mu^{2}\sum_{x=0}^n f(x)\\ &= \sum_{x=0}^n x^{2}\cdot f(x) -2\mu \cdot \mu +\mu^{2}\cdot 1 \\ &= \sum_{x=0}^n x^{2}\cdot f(x) -(\sum_{x=0}^n x\cdot f(x))^{2}\\ &= n(n-1)p^{2}+np-(np)^{2}\\ &= (np)^{2} -np^{2} + np -(np)^{2}\\ &= np(1-p)\\ \end{align}$

※

$\begin{align} \sum_{x=0}^n x^{2}\cdot f(x)&= \sum_{x=0}^n (x(x-1)+x) \frac{n!}{x!(n-x)!}p^{x}(1-p)^{n-x}\\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1) \frac{n(n-1)(n-2)!}{x(x-1)(x-2)!(n-x)!}p^2 \cdot p^{x-2}(1-p)^{n-x}\\\ &+ \sum_{x=0}^n x\cdot \frac{n(n-1)!}{x(x-1)!(n-x)!}p \cdot p^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &= n(n-1)p^{2}+np \end{align}$

※ $x^{2}=x(x-1)+x$

おまけ
当たる確率0.1%のSSレア京子ちゃんを狙った場合：

p_kyoko = 0.1/100     #京子ちゃんが当たる確率 

binomial_k = binom.pmf(x,n,p_kyoko)

plt.plot(x, binomial_k, 'o')
plt.xlabel('number of success', fontsize=15)
plt.ylabel('probability', fontsize=15)

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なんと25回まわしたぐらいではあたらなそうです。では10倍の5万円つぎこんだらどうでしょうか

n = 50000/200        # 200円のガチャに50000円をつっこむ
x = range(int(n)+1)  # 0~250回まで当たるときに着目

binomial_k = binom.pmf(x,n,p_kyoko)

plt.plot(x, binomial_k, 'o')
plt.xlabel('number of success', fontsize=15)
plt.ylabel('probability', fontsize=15)

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5回までのところを拡大してみましょう。

plt.plot(range(6), binomial_k[:6], 'o')
plt.xlabel('number of success', fontsize=15)
plt.ylabel('probability', fontsize=15)

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京子ちゃんを当てに行く場合、250回まわしても1回も当たらない確率は80%弱もあることが分かりました。 250回まわして当たる回数の期待値は、

n*p_kyoko

 0.25

分布をみると1回も当たらない確率が80%近いのに、期待値を計算すると当たる確率は25%でした。
このような偏った分布の場合では、平均値の計算は適さないです。

今回は以上になります。